Question

如图：已知四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E，F分别是线段PB，AD的中点
（1）求证：FE∥平面PCD；
（2）求异面直线DE与AB所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取PC的中点G，证明四边形EFGD是平行四边形，可得EF∥GD，证得EF∥平面PDC．
（2）根据CD∥AB，可得∠EDC或其补角为异面直线DE与AB所成的角，△DEC中，利用余弦定理即可得到结论．

解答：（1）证明：取PC的中点G，连接EG，GD，则EG∥

1

2

BC，且EG=

1

2

BC
∴GE∥DF且GE=DF．
∴四边形EFGD是平行四边形．
∴EF∥GD，
又EF?平面PDC，DG?平面PDC，
∴EF∥平面PDC；
（2）解：∵CD∥AB
∴∠EDC或其补角为异面直线DE与AB所成的角
设PD=AD=1，则△DEC中，DE=EC=

3

2

，DC=1
∴cos∠EDC=

DE2+DC2-EC2

2DE•DC

=

3

3

．

点评：本题考查证明线面平行，考查线线角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．