Question

如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，沿AC将△ABC折起，使点B到点P的位置，且平面PAC⊥平面ACD．
（I）证明：DC⊥平面APC；
（II）求棱锥A-PBC的高．

Answer 1

分析：（I）利用∠ABC=90°，AB=BC=1，求出AC，通过说明AC²+CD²=AD²，证明DC⊥平面APC；
（II）过P作PH⊥AC于H，则PH⊥平面ABC，且H为AC的中点，连接BH，设棱锥A-PBC的高为h，利用V_A-PBC=V_P-ABC，求棱锥A-PBC的高

解答：解：（Ⅰ）证明：∵∠ABC=90°，AB=BC=1，∴AC=

2

．
又∵四边形ABCD为直角梯形，AD=2，AB=BC=1，∴CD=

2

，
∵AC²+CD²=AD²，∴∠ACD=90°．
∵平面PAC⊥平面ACD．
∴DC⊥平面APC．
（Ⅱ）解：过P作PH⊥AC于H，则PH⊥平面ABC，且H为AC的中点，连接BH，则PH=BH=

2

2

，
所以BP═PC=1，∴△PBC是正三角形，S_△PBC=

3

4

，
设棱锥A-PBC的高为h，
∵V_A-PBC=V_P-ABC，

1

3

×

1

2

AB•BC•PH=

1

3

×

3

4

h，
即

1

3

×

1

2

×1×1×

2

2

=

1

3

×

3

4

h，
解得h=

6

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的应用，考查空间想象能力，计算能力．