Question

20．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos（$\frac{3π}{2}$-ωx）sin（ωx-$\frac{π}{2}$）-cos²ωx的最小正周期为π．
（1）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，若4sin²$\frac{A+C}{2}$-cos2B=$\frac{7}{2}$，求角B的大小以及f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及变形、两角差的正弦公式化简解析式，由题意和三角函数的周期公式求出ω，由特殊角的正弦值求出f（$\frac{π}{4}$）的值；
（2）利用诱导公式、二倍角余弦公式变形化简已知的方程，求出cosB的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B，由内角和定理求出A的范围，由正弦函数的图象与 性质求出f（A）的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1+cos2ωx}{2}$=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
∵f（x）的最小正周期为π，∴$\frac{2π}{2ω}=π$，则ω=1，
即f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{π}{4}$）=$sin（2×\frac{π}{4}-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$；
（2）由A+B+C=π得，$\frac{A+C}{2}$=$\frac{π}{2}-\frac{B}{2}$，
∴4sin²$\frac{A+C}{2}$-cos2B=$\frac{7}{2}$为4sin²（$\frac{π}{2}-\frac{B}{2}$）-cos2B=$\frac{7}{2}$，
则2[1-cos（π-B）]-（2cos²B-1）=$\frac{7}{2}$，
即4cos²B-4cosB+1=0，解得cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{3}$，则$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，则$-\frac{1}{2}＜sin（2A-\frac{π}{6}）≤1$，
∴f（A）=$sin（2A-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$的取值范围是（-1，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，三角函数的周期公式，三角恒等变换中的公式的灵活应用，注意内角的范围，考查化简、变形能力．