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设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于点F1,焦点为F2;椭圆C2以F1、F2为焦点,离心率e=
12

(I)(文科做)当m=1时,
①求椭圆C2的标准方程;
②若直线l与抛物线交于A、B两点,且线段AB恰好被点P(3,2)平分,设直线l与椭圆C2交于M、N两点,求线段MN的长;
(II)(仅理科做)设抛物线C1与椭圆C2的一个交点为Q,是否存在实数m,,使得△QF1F2的边长是连续的自然数?若存在,求出这样的实数m的值;若不存在,请说明理由.
分析:(I)①当m=1时,抛物线C1方程可知,所以椭圆C2中c与a值可求,进而得出椭圆的标准方程;
②由题意得,若x=3,则y=±2
3
,线段AB不可能被点P(3,2)平分.直线l的斜率k一定存在,不妨设直线l的方程为:y-2=k(x-3),A(x1,y1),B(x2,y2),将直线的方程代入椭圆的方程,消去x得到关于y的一元二次方程,再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得k值,从而求得直线l的方程.
(II)先假设存在实数m,使得△QF1F2的边长是连续的自然数,由P点为抛物线与椭圆在第一象限的焦点,所以只要根据抛物线方程求出椭圆方程,再联立,即可得出Q点坐标,从而分别求出△QF1F2的三边长,让三边成公差为1得等差数列,求m的值,若能求出,则存在,若不能求出,则不存在.
解答:解:(I)①∵c1:y2=4mx的右焦点F2(m,0)∴椭圆的半焦距c=m,
e=
1
2
,∴椭圆的长半轴的长a=2m,短半轴的长b=
3
m

椭圆方程为
x2
4m2
+
y2
3m2
=1

∴当m=1时,故椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1

②由题意得,若x=3,则y=±2
3
,线段AB不可能被点P(3,2)平分,
∴直线l的斜率k一定存在,不妨设直线l的方程为:y-2=k(x-3),A(x1,y1),B(x2,y2
y2=4x
y-2=k(x-3)
得ky2-4y-12k+8=0,
∴y1+y2=
4
k
=4,∴k=1,
∴直线l的方程为:y-2=x-3,即y=x-1.
(II)假设存在满足条件的实数m,
y2=4mx
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
,解得:Q(
2
3
m,
8
3
m)

|QF2|=
2
3
m+m=
5
3
m
|QF1|=4m-|QF2|=
7
3
m
,又|F1F2|=2m=
6
3
m

即△QF1F2的边长分别是
5
3
m
6
3
m
7
3
m

6m
3
-
5m
3
=
7m
3
-
6m
3
=1
∴m=3,
故存在实数m使△PF1F2的边长是连续的自然数.
点评:本题考查抛物线和椭圆的标准方程和简单性质,弦长公式的应用,考查了椭圆、抛物线与直线的位置关系以及存在性问题,综合性强,做题时认真观察,找出切入点.
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精英家教网如图,设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于F1,焦点为F2;以F1,F2为焦点,离心率e=
12
的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P.
(1)当m=1时,求椭圆C2的方程;
(2)当△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时,求抛物线方程;此时设⊙C1、⊙C2…⊙Cn是圆心在y2=4mx(m>0)上的一系列圆,它们的圆心纵坐标分别为a1,a2…an,已知a1=6,a1>a2>…>an>0,又⊙Ck(k=1,2,…,n)都与y轴相切,且顺次逐个相邻外切,求数列{an}的通项公式.

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精英家教网如图,设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于F1,焦点为F2;以F1,F2为焦点,离心率e=
12
的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P,延长PF2交抛物线于点Q,M是抛物线C1上一动点,且M在P与Q之间运动.
(1)当m=1时,求椭圆C2的方程;
(2)当△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时,求△MPQ面积的最大值.

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12
的椭圆C2与抛物线C1的一个交点为P.
(1)若椭圆的长半轴长为2,求抛物线方程;
(2)在(1)的条件下,直线l经过椭圆C2的右焦点F2,与抛物线C1交于A1,A2两点,如果|A1A2|等于△PF1F2的周长,求l的斜率;
(3)是否存在实数m,使得△PF1F2的边长是连续的自然数?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由.

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如图,设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于点F1,焦点为F2;以F1,F2为焦点,离心率为
1
2
的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P,延长PF2交抛物线于点Q,M是抛物线C1上一动点,且M在P与Q之间运动.
(1)当m=3时,求椭圆C2的标准方程;
(2)若|PF2|=5且P点横坐标为
2
3
m
,求面积△MPQ的最大值.

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如图所示,设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的焦点为F2,且其准线与x轴交于F1,以F1,F2为焦点,离心率e=
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的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的一个交点为P.
(1)当m=1时,求椭圆C2的方程;
(2)是否存在实数m,使得△PF1F2的三条边的边长是连续的自然数,若存在,求出这样的实数m;若不存在,请说明理由.

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