Question

如图所示，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的焦点为F₂，且其准线与x轴交于F₁，以F₁，F₂为焦点，离心率e=

1

2

的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C₂的方程；
（2）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的三条边的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）确定c=1，再利用椭圆的离心率，求出几何量，即可得到椭圆C₂的方程；
（2）假设存在，椭圆方程与抛物线方程联立，求出P的坐标，从而可得结论．

解答：解：（1）当m=1时，y²=4x，则F₁（-1，0），F₂（1，0）
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则c=1，
又e=

c

a

=

1

2

，所以a=2，b²=3
所以椭圆C₂方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）假设存在实数m，使得△PF₁F₂的三条边的边长是连续的自然数，则
因为c=m，e=

c

a

=

1

2

，则a=2m，b²=3m²，
设椭圆方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，与抛物线方程联立得3x²+16mx-12m²=0
即（x+6m）（3x-2m）=0，得x_P=

2m

3

，代入抛物线方程得y_P=

2 6 m

3

∴P（

2m

3

，

2 6 m

3

）
∴|PF₂|=x_P+m=

5m

3

，|PF₁|=2a-|PF₂|=4m-

5m

3

=

7m

3

，|F₁F₂|=2m=

6m

3

，
∵△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数，∴m=3．

点评：本题考查椭圆方程，考查使得三角形周长是连续的自然数的最小实数的求法，考查椭圆与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．