Question

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，∠BAC=90°，A₁A⊥平面ABC，，，AC=2，A₁C₁=1，．
（Ⅰ）证明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求AA₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则
A（0，0，0），，C（0，2，0），，，
∵BD：DC=1：2，
∴．
∴D点坐标为．
∴，
．，
∵，，
∴BC⊥AA₁，BC⊥AD，又A₁A∩AD=A，
∴BC⊥平面A₁AD，又BC?平面BCC₁B₁，
∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）设平面BCC₁B₁的法向量为=（x，y，z），则，
•=0即，
取，
解得=
因此：AA₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为．
分析：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，再求得相关向量的坐标，再求数量积得到线线垂直，进而推知面面垂直，
（Ⅱ）先求得平面BCC₁B₁的一个法向量，再利用向量法求线面角公式求解．
点评：本题主要是用向量的方法来证明线线垂直，体现垂直关系的转化，同时反映出用向量法求角的优越性．