Question

【题目】若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：
①X属于τ，属于τ；
②τ中任意多个元素的并集属于τ；
③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．
已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ={，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ={，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ={，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ={，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是（　　）
A.①
B.②
C.②③
D.②④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①τ={，{a}，{c}，{a，b，c}}；

而{a}∪{c}={a，c}τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；

②τ={，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ

因此②是集合X上的拓扑的集合τ；

③τ={，{a}，{a，b}，{a，c}}；

而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；

④τ={，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．

满足：①X属于τ，属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ

因此④是集合X上的拓扑的集合τ；

故选：D