Question

（2013•郑州一模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，点A在椭圆C上，

AF1

•

F1F2

=0，cos∠F1AF2=

3

5

，|

F1F2

|=2，过点F₂且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得

QP

•

MP

=

PQ

•

MQ

，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）易知△AF₁F₂为Rt△，由cos∠F1AF2=

3

5

及|

F1F2

|=2可求得|

AF1

|=

3

2

，|

AF2

|=

5

2

，由椭圆定义可求得a，由b²=a²-c²可求得b；
（II）设线段PQ的中点为N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），直线方程为y=k（x-1）（k≠0），由

QP

•

MP

=

PQ

•

MQ

，可得

PQ

•(

MQ

+

MP

)=2

PQ

•

MN

=0，即PQ⊥MN，故kMN=-

1

k

①，联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可表示出N点坐标，代入①可得m，k的关系式，分离出m利用基本不等式即可求得m的取值范围；

解答：解：（Ⅰ）由题意∠AF₁F₂=90°，cos∠F1AF2=

3

5

，
又|

F1F2

|=2，
所以|

AF1

|=

3

2

，|

AF2

|=

5

2

，2a=|

AF1

|+|

AF2

|=4，
所以a=2，c=1，b²=a²-c²=3，即所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）存在这样的点M符合题意．
设线段PQ的中点为N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），直线PQ的斜率为k（k≠0），
又F₂（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

消y得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韦达定理得x1+x2=

8k2

4k2+3

，故x0=

x1+x2

2

=

4k2

4k2+3

，
又点N在直线PQ上，所以N(

4k2

4k2+3

，

-3k

4k2+3

)．
由

QP

•

MP

=

PQ

•

MQ

，可得

PQ

•(

MQ

+

MP

)=2

PQ

•

MN

=0，即PQ⊥MN，
所以kMN=

0+ 3k 4k2+3

m- 4k2 4k2+3

=-

1

k

，整理得m=

k2

4k2+3

=

1

4+ 3 k2

∈(0，

1

4

)，
所以在线段OF₂上存在点M（m，0）符合题意，其中m∈(0，

1

4

)．

点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查向量的数量积运算，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性较强，难度较大．