Question

已知(

x

2

+

1

x

)n各项展开式的二项式系数之和为256．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展开式中的常数项．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，由二项式定理可得2ⁿ=256，解可得n的值；
（Ⅱ）由二项式定理可得，先求出展开式的通项，要求常数项，令X的指数为0，可得r的值，代入可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，(

x

2

+

1

x

)n展开式的二项式系数为256，
由二项式定理可得2ⁿ=256，解可得n=8；
（Ⅱ）由二项式定理可得，(

x

2

+

1

x

)n展开式的通项为T_r+1=C₈^r（

x

2

）^8-r•（

1

x

）^r=C₈^r（

1

2

）^r•x^8-2r；
令8-2r=0，可得r=4，
则常数项为T₅=

c

4 8

•(

1

2

)4=

35

8

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，要牢记二项式（x+y）ⁿ中，其二项式系数之和为2ⁿ；当求各项系数之和时，是让自变量为1来求解．