Question

已知(x2-

1

x

)n展开式中的二项式系数的和比（3a+2b）⁷展开式的二项式系数的和大128，求(x2-

1

x

)n展开式中的系数最大的项和系数最小的项．

Answer 1

分析：先由条件求出n=8，再求出二项式展开式的通项公式，再由二项式系数的性质求得当r为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求得展开式中的系数最大的项和系数最小的项．

解答：解：由题意可得 2ⁿ-2⁷=128，解得n=8．
故 (x2-

1

x

)n=(x2-

1

x

)8 展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 8

•x^16-2r•（-1）^r•x^-r=（-1）^r•

C

r 8

•x^16-3r．
由二项式系数的性质可得，当r=4时，(x2-

1

x

)n展开式中的系数最大，为T₅=

C

4 8

•x⁴=70x⁴；
当r=3或5时，(x2-

1

x

)n展开式中的系数最小，为 T₄=-

C

3 8

•x⁷=-56x⁷，或 T₆=-

C

5 8

•x=-56x．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．