Question

已知函数f（x）=

-x3+x2+bx+c(x＜1) alnx  (x≥1)

的图象过点（-1，2），且在x=

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处取得极值．
（Ⅰ）求实数b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为函数f（x）=

-x3+x2+bx+c(x＜1) alnx  (x≥1)

的图象过点（-1，2），可把（-1，2）点坐标代入，得到一个关于b，c的等式，再因为函数在x=

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处取得极值，所以函数在x=

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处的导数为0，由此又得到一个关于b，c的等式，两个等式联立，就可解出b，c．
（Ⅱ）利用导数求最大值，因为f（x）为分段函数，所以可按x的范围，分段求导数，找到极大值，再比较区间
[-1，e]上的极大值与端点函数值的大小，找到最大值．

解答：解：（Ⅰ）当x＜1时，f^′（x）=-3x²+2x+b，
由题意得：

f(-1)=2 f′( 2 3 )=0

，即

2-b+c=2 -3× 4 9 + 4 3 +b=0

，
解得：b=c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=

-x3+x2+bx+c(x＜1) alnx  (x≥1)

①当-1≤x＜1时，f^′（x）=-x（3x-2），
解f^′（x）＞0得0＜x＜

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；解f^′（x）＜0得-1＜x＜0或

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＜x＜1
∴f（x）在（-1，0）和(

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，1)上单减，在（0，

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）上单增，
由f^′（x）=-x（3x-2）=0得：x=0或x=

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，
∵f（-1）=2，f（

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）=

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．f（0）=0，f（1）=0，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2．
②当1≤x≤e时，f′（x）=alnx，
当a≤0时，f′（x）≤0；
当a＞时，f（x）在[1，e]单调递增；
∴f（x）在[1，e]上的最大值为a．
∴当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a； 
当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．

点评：本题考查了应用导数求极值，最值，属于导数的应用，为高考必考内容．