Question

（本题满分10分）一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进（如图），现在小船在水平面P点以南的40米处，汽车在桥上Q点以西30米处（其中PQ⊥水面），求小船与汽车间的最短距离（不考虑汽车与小船本身的大小）.

Answer 1

（本小题满分10分）

解：设经过时间t汽车在A点，船在B点，（如图）…………1分

则AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，

                                                                              …………3分

 设小船所在平面为,AQ,QP确定平面为β,记∩β=l,由AQ∥,AQβ得AQ∥l，

又PQ⊥水面，即PQ⊥，作AC∥PQ，则AC⊥.连结CB，则AC⊥CB .

再由AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP，                                              …………5分

∴AB²=AC²+BC²=PQ²+PB²+PC²=20²+（40–10t）²+(30–20t)²

=100［5(t–2)²+9］,                                                           …………8分

t=2时AB最短，最短距离为30 m.                                             …………10分