Question

已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B.如图.

（1）求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；

（2）求直线l在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线的方程.

Answer 1

思路解析：从面积最小这点出发，建立与面积有关的函数关系，利用不等式或函数的单调性解决，也可以根据题目条件，转化为三角函数，更有意想不到的效果.

（1）解法一：设A（a，0）、B（0，b）（显然a＞3）,则直线l的方程为+=1.把P（3，2）代入,得+=1,于是b=,故△AOB的面积S=ab==

=a-3++6≥2+6=12.∴a-3=,即a=6,b=4时,△AOB面积取最小值12.此时l的方程为+=1,即2x+3y-12=0.

解法二：由1=+≥2,得≥2，ab≥.故△AOB的面积S=ab≥12.当==,即a=6,b=4时,S_min=12.(以下同解法一)

解法三：由b=，故△AOB的面积S=ab=.去分母，得a²-Sa+3S=0.∵a为实数，∴Δ≥0，即S²-12S≥0.由S≥0得S≥12.将S_min=12代入上式，求得a=6，故b=4.(以下同解法一)

解法四：如上图所示，过P分别作x，y轴的垂线PM，PN（M、N为垂足），并设θ=∠PAM=∠BPN，则

S=S_矩形PMON+S_△PAM+S_△PBN

=6+×2×2×cotθ+×3×3×tanθ

=6+2cotθ+tanθ≥6+2=12，

∴当2cotθ=tanθ，即tanθ=时，S_min=12.(以下同解法一)

（2）解法一：∵+=1，

∴a+b=(+)（a+b）=3+++2=++5≥5+2=5+2.

当=,即a=3+,b=2+时(a+b)_min=5+2,

此时直线方程为(2+)x+(3+)y-12-5=0.

解法二：∵a+b=(|OM|+|MA|)+(|ON|+|NB|)

=(3+2cotθ)+(2+3tanθ)=5+2cotθ+3tanθ≥5+2

=5+2，

∴当2cotθ=3tanθ，即tanθ=时，也即a=3+，b=2+时，（a+b）_min=5+2，

此时直线方程为（2+）x+（3+）y-12-5=0.

深化升华

    本题属“条件最值”问题，解题的总体思路是：先根据条件把多变元的函数减元化成单变元的目标函数，再根据表达式的结构特点确定最大、小值的求法.