已知二次函数,且不等式的解集为.(1) 方程有两个相等的实根,求的解析式.(2) 的最小值不大于,求实数的取值范围.(3) 如何取值时,函数()存在零点,并求出零点.
(1) ;(2) ;(3)当时有一个零点;当且时有2个零点.
【解析】
试题分析:(1)因为的解集为,所以-1和2是方程f(x)-2x=0的两个根,得到a、b、c之间的关系,又由于方程有两个相等的实根,所以利用判别式为0可以求出a、b、c的值,从而求出函数解析式.(2)因为函数图像是开口向上的抛物线,所以最小值在顶点处取得,所以得到顶点的纵坐标后,让纵坐标小于等于-3a就行了.(3)先判断方程是不是一元二次方程,如果是一元一次方程就直接求方程的根,如果是一元二次方程就需要讨论判别式,讨论方程是不是有根.
试题解析:∵的解集为,
∴的解集为, 1分
∴,且方程的两根为
即,∴ 2分
(1)∵方程有两个相等的实根,即有两个相等的实根
∴,
∴或 3分
∵,∴, ∴ 4分
(2)
∵,∴的最小值为, 5分
则,,解得, 7分
∵,∴ 8分
(3)由,得 (※)
①当时,方程(※) 有一解,
函数有一零点; 9分
②当时,
方程(※)有一解, 令
得或, ∵即,
i)当,时,
((负根舍去)),
函数有一零点. 10分
ii) 当时,的两根都为正数,
当或时,
函数有一零点. 11分
ⅲ) 当时,,∴
③方程(※)有二解,
ⅰ)若,,时,
((负根舍去)),函数
有两个零点; 12分
ⅱ)当时,,的两根都为正数,
当或时,
函数有两个零点. 13分
ⅲ) 当时,,∴恒成立,
∴取大于0()的任意数,
函数有两个零点 14分
考点:1.函数解析式的求法;2.二次函数最小值的求法;3.分式不等式的解法;4.含参方程的解法.
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科目:高中数学 来源:2010年山西大学附中高一第二次月考数学试卷 题型:解答题
(本小题满分10分)
已知二次函数满足,;方程有两个实根,且两实根的平方和为10.
(1)求函数的解析式;
(2)若关于的方程在区间内有两个不等实根,求实数的取值范围.
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