Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=-a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；
（3）若对x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x₁，x₂）．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=0，得a+b+c=0，根据a＞b＞c，可知a＞0，且c＜0，再利用根的判别式可证；
（2）由条件知方程的一根为1，另一根满足-2＜x₂＜0．由于f（m）=-a＜0，可知m∈（-2，1），从而m+3＞1，根据函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，可知（m+3）＞0成立．
（3）构造函数g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，进而证明g（x₁）g（x₂）＜0，所以方程g（x）=0在（x₁，x₂）内有一根，故方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]必有一根属于（x₁，x₂）．

解答：解：（1）因为f（1）=0，
所以a+b+c=0，
又因为a＞b＞c，
所以a＞0，且c＜0，
因此ac＜0，
所以△=b²-4ac＞0，
因此f（x）的图象与x轴有2个交点．
（2）由（1）可知方程f（x）=0有两个不等的实数根，不妨设为x₁和x₂，
因为f（1）=0，
所以f（x）=0的一根为x₁=1，
因为x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
所以x₂=-

b

a

-1=

c

a

，
因为a＞b＞c，a＞0，且c＜0，
所以-2＜x₂＜0．
因为要求f（m）=-a＜0，
所以m∈（x₁，x₂），
因此m∈（-2，1），
则m+3＞1，
因为函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增；
所以f（m+3）＞f（1）=0成立．
（3）构造函数g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，
则g（x₁）=f（x₁）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[f（x₁）-f（x₂）]，
g（x₂）=f（x₂）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[f（x₂）-f（x₁）]，
于是g（x₁）g（x₂）=

1

4

[f（x₁）-f（x₂）][f（x₂）-f（x₁）]
=-

1

4

[f（x₁）-f（x₂）]²，
因为f（x₁）≠f（x₂），
所以g（x₁）g（x₂）=-

1

4

[f（x₁）-f（x₂）]²＜0，
所以方程g（x）=0在（x₁，x₂）内有一根，
即方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]必有一根属于（x₁，x₂）．

点评：本题以二次函数为载体，考查方程根的探求，考查函数值的确定及函数的零点问题，有一定的综合性．