Question

如图，已知斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD，
（1）证明：C₁C⊥BD；
（2）当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明。

Answer 1

解：（1）连结A1C1、AC，AC和BD交于O，连结C1O， ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD，BC=CD， 又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C， ∴△C1BC≌△C1DC， ∴C1B=C1D， ∵DO=OB， ∴C1O⊥BD， 但AC⊥BD，AC∩C1O=O， ∴BD⊥平面AC1， 又C1C平面AC1， ∴C1C⊥BD；
（2）当=1时，能使A1C⊥平面C1BD； 由（1）知，BD⊥平面AC1， ∵A1C平面AC1， ∴BD⊥A1C， 当=1时，斜四棱柱的六个面是全等的菱形， 同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C； BD∩BC1=B， ∴A1C⊥平面C1BD。