Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，侧棱与底面成锐角α，点B₁在底面上的射影D落在BC边上．

(1)求证：AC⊥平面BB₁C₁C；

(2)当α为何值时，AB₁⊥BC₁，且使D点恰为BC的中点?并说明理由；

(3)当AB₁⊥BC₁，且D为BC中点时，若BC=2，四棱锥A-BB₁C₁C的体积为，求二面角A-B₁C₁-C的大小．

第19题图

Answer 1

答案：(1)∵B₁D⊥平面ACB，∴B₁D⊥AC，

∵AC⊥BC，∴AC⊥平面BB₁C₁C.

(2)因为AC⊥平面BB₁C₁C，所以要使AB₁⊥BC₁，只要BC₁⊥B₁C，又BB₁C₁C是平行四边形，只要BB₁C₁C是菱形，另外要使D为BC中点，因B₁D⊥BC，所以只要三角形B₁BC为等边三角形即可，即当α=60°时满足题目要求．

(3)取B₁C₁的中点M，连接AM、MC，如图所示．因为△C₁B₁C是等边三角形，所以CM⊥B₁C₁，

第19题图

由题意知∠AMC是二面角A-B₁C₁-C的平面角，因为四棱锥A-BB₁C₁C的体积为，

所以，·AC·BC·B1D=，即×AC×2×=AC=1，

∴tan∠AMC=∠AMC=30°

即二面角A-B₁C₁-C的大小为30°．