Question

已知函数f（x）=-x+log₂．
（1）求f（）+f（-）的值；
（2）当x∈（-a，a]（其中a∈（0，1），且a为常数）时，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由＞0，得-1＜x＜1，可得函数的定义域为（-1，1）
∵f（-x）=-（-x）+log₂=x-log₂=-f（x）
∴f（x）是定义在（-1，1）的奇函数
因此，f（-）=-f（），可得f（）+f（-）的值等于0；
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x₁）-f（x₂）=-x₁+log₂-（-x₂+log₂）=（x₂-x₁）+log₂
且x₂-x₁＞0，＞1
∴log₂＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
由此可得f（x）为（-1，1）上的减函数，
∴当x∈（-a，a]（其中a∈（0，1），且a为常数）时，函数有最小值为f（a）=-a+log₂
分析：（1）根据函数奇偶性的定义，可证出f（x）是定义在（-1，1）的奇函数，由此可得f（）+f（-）的值等于0；
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，利用作差、因式分解、判断符号的方法，证出f（x）为（-1，1）上的减函数．因此，当a∈（0，1），且a为常数时，f（x）在区间（-a，a]的最小值为f（a）=-a+log₂．
点评：本题给出含有对数符号的基本初等函数，求特殊的函数值并讨论函数在区间（-a，a]上的最小值，着重考查了函数的奇偶性、单调性及其应用的知识点，属于中档题．