Question

（2012•吉林二模）下列函数f（x）中，满足“对任意的x₁，x₂∈（-∞，0），当x₁＜x₂时，总有f（x₁）＞f（x₂）”的是（　　）

• A．f（x）=（x+1）²
• B．f（x）=ln（x-1）
• C．f(x)=

  1

  x

• D．f（x）=e^x

Answer 1

分析：根据题目所给条件，说明函数f（x）在（-∞，0）上应为减函数，其中选项A是二次函数，C是反比例函数，D是指数函数，图象情况易于判断，B是对数型的，从定义域上就可以排除．

解答：解：函数满足“对任意的x₁，x₂∈（-∞，0），当x₁＜x₂时，总有f（x₁）＞f（x₂）”，说明函数在（-∞，1）上为减函数．
f（x）=（x+1）²是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=-1，所以函数在（-∞，-1）单调递减，在（-1，+∞）单调递增，不满足题意．
函数f（x）=ln（x-1）的定义域为（1，+∞），所以函数在（-∞，0）无意义．
对于函数f（x）=

1

x

，设x₁＜x₂＜0，则f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，因为x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂0，x₂-x₁＞0，则

x2-x1

x1x2

＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），故函数f（x）=

1

x

在（-∞，0）上为减函数．
函数f（x）=e^x在（-∞，+∞）上为增函数．
故选C．

点评：本题考查了函数的单调性，解决此题的关键，是能根据题目条件断定函数为（-∞，0）上的减函数．