Question

已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为，C的两个焦点分别为F₁，F₂，直线l过F₂且与直线F₁F₂的夹角为tanψ=，l与线段F₁F₂的垂直平分线的交点是P，线段PF₂与双曲线C的交点为Q，且|PQ|：|QF₂|=2：1．求双曲线C的方程．

Answer 1

【答案】分析：如图，以F₁F₂所在的直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．设双曲线的方程为，可得直线PQ的方程为，得到点P的坐标．由线段的定比分点坐标公式得点Q的坐标，代入双曲线的方程即可得到．又ab=，联立即可得出．
解答：解：如图，以F₁F₂所在的直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．
设双曲线的方程为，
直线PQ的方程为，则P，
由线段的定比分点坐标公式得，=．
∴．
代入双曲线的方程得，整理得，
解得，或=．（舍去）．
∴．又ab=，
∴，a=1．
故所求的双曲线方程为．
点评：本小题考查利用坐标法研究几何问题的思想，线段的定比分点坐标公式，双曲线的有关知识及综合解题能力．