Question

抛物线x²=-2y中斜率为2的平行弦（动弦）的中点的轨迹方程是 ________．

Answer 1

x+2=0（y＜-2）
分析：设出直线方程和两个交点坐标，与抛物线方程联立消去y，利用判别式大于0求得b的范围，同时根据韦达定理分别求得x₁+x₂的值，利用直线方程求得y₁+y₂的表达式，设出AB的中点的坐标，可求得x=-2，同时根据b的范围可确定y的范围，最后可求得所求的轨迹方程．
解答：设直线方程为y=2x+b
设两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）联立抛物线x²=-2y与直线方程y=2x+b，
消去y，可得x²+4x+2b=0△=16-4•1•2b＞0∴b＜2 ①
另根据韦达定理有：x₁+x₂=-4 ②
而A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在直线y=2x+b上，可分别代入得到：y₁=2x₁+b y₂=2x₂+b
∴y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b将②代入上式，可得：y₁+y₂=2b-8 ③
设AB的中点M（x，y），可根据中点坐标公式表示为：x=
y= 分别将②，③代入，可得：x=-2 y=b-4
由条件①：b＜2，可得：y=b-4＜2-4＜-2
∴M点（即动弦AB中点）的轨迹方程时：x=-2这条直线位于y=-2之下的部分，
即轨迹方程x+2=0（y＜-2）
故答案为：x+2=0（y＜-2）
点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，求轨迹方程问题等．一般是把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求得问题的解决的途径．