Question

已知数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，b₄=54，a₁+a₂+a₃=b₂+b₃．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q
由b4=b1q3=54，得q3=

54

2

=27，从而q=3
因此bn=b1 • qn-1=2 • 3n-1（3分）
又a₁+a₂+a₃=3a₂=b₂+b₃=6+18=24，∴a₂=8
从而d=a₂-a₁=6，故a_n=a₁+（n-1）•6=6n-4（6分）
（2）cn=anbn=4 • (3n-2) • 3n-1
令Tn=1×30+4×31+7×32+…+(3n-5) • 3n-2+(3n-2) • 3n-1
3Tn=1×31+4×32+7×33+…+(3n-5) • 3n-1+(3n-2) • 3n（9分）
两式相减得-2Tn=1+3×31+3×32+3×33+…+3×3n-1-(3n-2) • 3n
=1+3 • 

3 • (3n-1-1)

3-1

-（3n-2）•3ⁿ=1+

9(3n-1-1)

2

-(3n-2) • 3n
∴Tn=

7

4

+

3n(6n-7)

4

，又Sn=4Tn=7+(6n-7) • 3n（12分）．