Question

已知向量

a

=(sinθ，-2)与

b

=(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，

π

2

)．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin(θ-φ)=

10

10

，0＜φ＜

π

2

，求cosφ的值．

Answer 1

分析：（1）根据两向量垂直，求得sinθ和cosθ的关系代入sin²θ+cos²θ=1中求得sinθ和cosθ的值．
（2）先利用φ和θ的范围确定θ-φ的范围，进而利用同角三角函数基本关系求得cos（θ-φ）的值，进而利用cosφ=cos[θ-（θ-?）]根据两角和公式求得答案．

解答：解：（1）∵

a

与

b

互相垂直，则

a

•

b

=sinθ-2cosθ=0，
即sinθ=2cosθ，代入sin²θ+cos²θ=1得sinθ=±

2 5

5

，cosθ=±

5

5

，又θ∈(0，

π

2

)，
∴sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

（2）∵0＜φ＜

π

2

，0＜θ＜

π

2

，
∴-

π

2

＜θ-φ＜

π

2

，则cos（θ-φ）=

1-sin2(θ-φ)

=

3 10

10

，
∴cosφ=cos[θ-（θ-φ）]=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）=

2

2

．

点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用，两角和的余弦公式，向量的计算等．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．