Question

已知tanα=函数f（x）=其中
（1）求f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）求证：
（i）a_n+1＞a_n（n∈N^*）；
（ii）1＜…+＜2（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由tan2α===1，将tanα=代入可求解，由α为锐角，得α，进而求得函数表达式．
（2）（i）由数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），知，由此能够证明a_n+1＞a_n（n∈N^*）．
（ii）由数列{a_n}满足，=a_n（a_n+1），能够导出，利用裂项求和法得到…+=2-，由此能够证明1＜…+＜2（n≥2，n∈N^*）
解答：解：（1）解：∵tan2α===1
又∵，
∴α=，∴sin（2α+）=1，
∴f（x）=x²+x．
（2）（i）∵数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），
∴，
∴a_n+1-a_n=a_n²＞0，
∴a_n+1＞a_n（n∈N^*）．
（ii）∵数列{a_n}满足，=a_n（a_n+1），
∴=，
∴，
∴…+=（）+（）+…+（）
=
=2-，
∴1＜…+＜2（n≥2，n∈N^*）．
点评：本题考查函数解析式的求法和不等式的证明，具体涉及到正切函数的倍角公式、数列与函数、数列与不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．