Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sin．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）已知tanθ=

sinB+sinC

cosB+cosC

，且0＜θ＜π，求函数f（x）=2sin（2x+θ）在区间[-

π

2

，-

π

12

]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，再由余弦定理表示出cosA，将得出的等式变形后代入cosA中，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由A的度数，求出B+C的度数为

2π

3

，设B=

π

3

+α，C=

π

3

-α，-

π

3

＜α＜

π

3

，代入已知的tanθ的式子中，分子分母分别利用和差化积公式变形后，利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ=tan

π

3

，由θ的范围得到θ=

π

3

，代入函数f（x）解析式中，根据x的范围，得到这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质可得出此时函数的最大值及最小值．

解答：解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得：2a²=（2b-c）b+（2c-b）c，…（1分）
即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，…（3分）
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：B+C=π-A=

2π

3

，
设B=

π

3

+α，C=

π

3

-α，-

π

3

＜α＜

π

3

，
∴tanθ=

sinB+sinC

cosB+cosC

=

sin( π 3 +α)+sin( π 3 -α)

cos( π 3 +α)+cos( π 3 -α)

=

2sin π 3 cosα

2cos π 3 cosα

=tan

π

3

，
∵0＜θ＜π，∴θ=

π

3

，…（9分）
∴f（x）=2sin（2x+θ）=2sin（2x+

π

3

），
∵-

π

2

≤x≤-

π

12

，-

2π

3

≤2x+

π

3

≤

π

6

，
∴当2x+

π

3

=-

π

2

，即x=-

5π

12

时，f（x）有最小值-2；
当2x+

π

3

=

π

6

，即x=-

π

12

时，f（x）有最大值1，
则函数f（x）在区间[-

π

2

，-

π

12

]上的最大值与最小值分别为-2与1．…（12分）

点评：此题考查了正弦、余弦定理，和差化积公式，正弦函数的定义域与值域，其中确定出θ的度数是解第二问的关键．