Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知

.

m

=(cos

C

2

，sin

C

2

)，

.

n

=(cos

C

2

，-sin

C

2

)，且

m

•

n

=

1

2

．
（1）求角C；
（2）若a+b=

11

2

，△ABC的面积S=

3 3

2

，求边c的值．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标，根据已知等式，利用平面向量的数量积运算法则求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，将sinC与已知面积代入求出ab的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将a+b与ab的值代入即可求出c的值．

解答：解：（1）依题知得

m

•

n

=cos²

C

2

-sin²

C

2

=cosC=

1

2

，
又C为三角形的内角，∴C=

π

3

；
（2）∵S=

1

2

absinC=

3

4

ab，且S=

3 3

2

，
∴ab=6，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=

121

4

-3×6=

49

4

，
解得：c=

7

2

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．