Question

4．已知函数f（x）=x²+2mx+m²-m+1，若方程f（f（x））=0无实根，则m的取值范围是（-∞，2）．

Answer 1

分析 对二次方程f（x）=0，讨论无实根，两相等的实数根，两不相等的实数根，运用判别式和配方思想，以及二次函数的性质，计算即可得到所求．

解答 解：若f（x）=x²+2mx+m²-m+1=0无实根，
即有判别式4m²-4（m²-m+1）＜0，
解得m＜1，
则f（f（x））={[（x+m）²+1-m]+m}²+1-m＞0，
即有方程f（f（x））=0无实根；
若f（x）=0有两个相等的实根，即有m=1，
则f（f（x））=[（x+1）²+1]²＞0，
即有方程f（f（x））=0无实根；
若f（x）=0有两个不相等的实根，即有m＞1，
当y=f（f（x））的图象与x轴相切时，
即有顶点（-m，2-m）在x轴上，即为m=2，
由于开口向上，当1＜m＜2时，
即有方程f（f（x））=0无实根．
综上可得m的范围是（-∞，2）．
故答案为：（-∞，2）．

点评 本题考查函数和方程的转化，考查二次方程的根的分布，以及函数的迭代的性质，和分类讨论的思想方法，属于中档题．