Question

已知向量

a

=(cos2ωx-sin2ωx，sinωx)，

b

=(

3

，2cosωx)，设函数f(x)=

a

•

b

(x∈R)的图象关于直线x=

π

2

对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的

1

6

，再将所得图象向右平移

π

3

个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，若关于x的方程h（x）+k=0在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式化简函数，结合函数的图象关于直线x=

π

2

对称，且ω∈（0，1），即可求得函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）确定h（x）=2sin（2x-

π

3

），关于x的方程h（x）+k=0在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，等价于2sint+k=0在t∈[

π

3

，

2π

3

]上有且只有一个实数解，由此可得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

a

=(cos2ωx-sin2ωx，sinωx)，

b

=(

3

，2cosωx)，
∴f(x)=

a

•

b

=（cos²ωx-sin²ωx，sinωx）•(

3

，2cosωx)=

3

cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+

π

3

）
∵函数图象关于直线x=

π

2

对称，∴2sin（πω+

π

3

）=±2
∴πω+

π

3

=kπ+

π

2

（k∈Z），即ω=k+

1

6

（k∈Z）
∵ω∈（0，1），∴k=0，ω=

1

6

∴f（x）=2sin（

1

3

x+

π

3

）；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的

1

6

，再将所得图象向右平移

π

3

个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）=2sin（2x-

π

3

）的图象，
令2x-

π

3

=t，∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[

π

3

，

2π

3

]
∴关于x的方程h（x）+k=0在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，即2sint+k=0在t∈[

π

3

，

2π

3

]上有且只有一个实数解，
即y=2sint，t∈[

π

3

，

2π

3

]的图象与y=-k有且只有一个交点，
∴-

3

＜k≤

3

或k=-2．

点评：本题考查向量的数量积运算，考查函数解析式的确定，考查图象的变换，考查解的问题，确定函数的解析式是关键．