Question

（已知函数f（x）=k[（log_ax）²+（log_xa）²]-（log_ax）³-（log_xa）³，（其中a＞1），g（x）=x²-2bx+4，设t=log_ax+log_xa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对任意的x₁∈（1，+∞），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），试求实数b的取值范围．．

Answer 1

分析：（I）根据完全平方公式和立方和关系进行化简变形，然后用t=log_ax+log_xa代入，即可将f（x）表示成t的函数h（t），欲使h（t）在定义域内有极值，只需h'（t）=0在（2，+∞）内有解，且h'（t）的值在根的左右两侧异号，h'（2）＞0，即可求出所求；
（II）对任意的x₁∈（1，+∞），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂）等价于x∈（1，+∞）时，f（x）_max≤g（x）_max，x∈[1，2]，然后利用导数研究最大值即可求出实数b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵（log_ax）²+（log_xa）²=（log_ax+log_xa）²-2=t²-2，
（log_ax）³+（log_xa）³=（log_ax+log_xa）[（log_ax+log_xa）²-3]=t³-3t，
∴h（t）=-t³+kt²+3t-2k，（t＞2）∴h'（t）=-3t²+2kt+3
设t₁，t₂是h'（t）=0的两根，则t₁t₂＜0，
∴h'（t）=0在定义域内至多有一解，
欲使h（t）在定义域内有极值，只需h'（t）=-3t²+2kt+3=0在（2，+∞）内有解，且h'（t）的值在根的左右两侧异号，∴h'（2）＞0得k＞

9

4

综上：当k＞

9

4

时h（t）在定义域内有且仅有一个极值，当k≤

9

4

时h（t）在定义域内无极值
（Ⅱ）∵对任意的x₁∈（1，+∞），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂）等价于x∈（1，+∞）时，f（x）_max≤g（x）_max，x∈[1，2]，
又k=4时，h（t）=-t³+4t²+3t-8 （t≥2），
h'（t）=-3t²+8t+3t∈（2，3）时，h'（t）＞0，而t∈（3，+∞）时，h'（t）＜0
∴h（t）_max=h（3）=10，x∈[1，2]时，g(x)max=

8-4b，b≤ 3 2 5-2b，b＞ 3 2

∴

b≤ 3 2 8-4b≥10

或

b＞ 3 2 5-2b≥10

∴b≤-

1

2

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及恒成立等有关知识，是一道综合题，有一定的难度，属于中档题．