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    D、E、F分别是△ABC的三条边AB、BC、CA上的动点,且它们在初始时刻分别从A、B、C出发,各以一定速度沿各边向B、C、A移动.当t=1时,分别到达B、C、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t1,△DEF的重心不变.

    图11

    证明:如图11.

        建立如图所示的平面直角坐标系,设A、B、C坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).

        在任一时刻t1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有=λ,由定比分点的坐标公式可得D、E、F的坐标分别为(at1,0),(a+(m-a)t1,nt1),(m-mt1,n-nt1).由重心坐标公式可得△DEF的重心坐标为().

    当t=0或t=1时,△ABC的重心也为(),

    故对任一t1∈[0,1],△DEF的重心不变.

    点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC的重心和时刻t1的△DEF的重心相同即可.

    练习册系列答案
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    精英家教网如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（　　）
    A、
    AD
    +
    DF
    +
    CF
    =
    0
    B、
    BD
    -
    CF
    +
    DF
    =
    0
    C、
    AD
    +
    CE
    -
    CF
    =
    0
    D、
    BD
    -
    BE
    -
    FC
    =
    0

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    BD
    =2
    DC
    ，
    EA
    =2
    CE
    ，
    FB
    =2
    AF
    ，则
    AD
    +
    BE
    +
    CF
    与
    BC
    （　　）

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    （1）求证：AB∥平面DEF；
    （2）求证：BD⊥AC；
    （3）设三棱锥A-BCD的体积为V1、多面体ABFED的体积为V2，求V1：V2的值．

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