Question

平面内有n条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n条直线把平面分割成（n2+n+2）块．

 

Answer 1

见解析

【解析】

试题分析：直接利用数学归纳法的证题步骤证明，（1）验证n=1时命题的正确性；（2）通过假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也正确即可．

证明：（1）当n=1时，1条直线把平面分成2块，又（12+1+2）=2，命题成立．

（2）假设n=k时，k≥1命题成立，即k条满足题设的直线把平面分成（k2+k+2）块，

那么当n=k+1时，第k+1条直线被k条直线分成k+1段，

每段把它们所在的平面块又分成了2块，因此，增加了k+1个平面块．

所以k+1条直线把平面分成了（k2+k+2）+k+1=[（k+1）2+（k+1）+2]块，

这说明当n=k+1时，命题也成立．

由（1）（2）知，对一切n∈N*，命题都成立．