Question

设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若x∈[0，π），求函数f（x）=sin（x-B）+sinx的值域．

Answer 1

（Ⅰ）由已知及正弦定理，得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB…（2分）
移项得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB…（4分）
∵sin（B+C）=sinA≠0，∴2cosB=1，可得cosB=

1

2

．（5分）
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

…（6分）
（Ⅱ）∵B=

π

3

，
∴f(x)=sin(x-

π

3

)+sinx=sinxcos

π

3

-cosxsin

π

3

+sinx
=

3

2

sinx-

3

2

cosx=

3

sin(x-

π

6

)…（9分）
∵x∈[0，π），可得-

π

6

≤x-

π

6

＜

5π

6

，
∴sin(x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]…（11分）
故函数f（x）的值域是[-

3

2

，

3

]．（12分）