Question

已知△ABC的周长为，且．
（Ⅰ）求边BC的长；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，求△ABC的面积S．

Answer 1

解：（Ⅰ）在△ABC中，由sinB+sinC=sinA及正弦定理得：b+c=a①（3分）
又周长a+b+c=+1②，
由①②联立解得：a=1，即BC=1；（6分）
（Ⅱ）△ABC的面积S=bcsinA，即bcsinA=sinA，所以bc=，（8分）
又结合（Ⅰ）知，b+c=+1-a=，
∴在△ABC中由余弦定理得：
cosA=（10分）
=，（12分）
又△ABC的内角A∈（0，π），所以A=，（13分）
所以△ABC的面积S=sinA=×sin=．（15分）
分析：（Ⅰ）设出三角形的三边长分别为a，b，c，根据已知的周长表示出关于a，b，c的关系式，记作②，利用正弦定理化简已知的等式，得到关于a，b，c的关系式，记作①，把①代入②即可求出a的值，进而BC的值；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积S，与已知的面积相等得到一个等式，化简可得bc的值，由（Ⅰ）中的①和a的值求出b+c的值，利用余弦定理表示出cosA，变形后把b+c，bc以及a的值代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，将sinA的值代入已知的面积S=sinA中即可求出△ABC的面积．
点评：此题综合考查了正弦、余弦定理以及三角形的面积公式．本题的关键是第（Ⅱ）中灵活变换cosA的表达式，注意整体代入方法的运用．同时要求学生善于发现两问之间的联系，从而建立已知与未知之间的关系．