Question

【题目】如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE的平分线与AE、BE分别交于点C、D，其中∠AEB=30°．

（1）求证：
（2）求∠PCE的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PE是圆的切线，∴∠PEB=∠PAC，

∵AE是∠APE的平分线，∴∠EPC=∠APC，

∴△PED∽△PAC，

∴ = ，

∵ = ，

∴

（2）解：∵PE是圆的切线，∴∠PEB=∠PAC，

∵AE是∠APE的平分线，∴∠EPC=∠APC，

根据三角形的外角与内角关系有：∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC，

∴∠EDC=∠ECD，∴△EDC为等腰三角形，

又∠AEB=30°，

∴∠EDC=∠ECD=75°，即∠PCE=75°

【解析】（1）证明△PED∽△PAC，结合角平分线的性质，即可证明结论；（2）利用PE是圆的切线，可得∠PEB=∠PAC，利用AE是∠APE的平分线，可得∠EPC=∠APC，根据三角形的外角与内角关系，可得∠EDC=∠ECD，即可得出结论．