Question

已知数列{}中, ,前项和为,且.

(1)求；

(2)求证:数列为等差数列,并写出其通项公式;

(3)设,试问是否存在正整数其中（),使成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组;若不存在,说明理由.

Answer 1

解:(1)令n=1,则==0 ;        ; …………………………2分

(2)由,即,   ①      得  .   ②

②-①,得  .                    ③  

于是,.                  ④

③+④,得,即 

又a₁=0,a₂=1,a₂-a₁=1,          

所以,数列{a_n}是以0为首项,1为公差的等差数列.

所以,a_n=n-1                                         …………………………10分

法二②-①,得  .                    ③ 

于是,  

        所以,.                   

(3)假设存在正整数数组(p,q),使b₁,b_p,b_q成等比数列,

则lgb₁,lgb_p,lgb_q成等差数列,  

于是, 

所以,(☆).易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解 

当p≥3,且p∈N*时,<0,

故数列{}(p≥3)为递减数列         

于是≤<0,所以此时方程(☆)无正整数解  

综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使b₁,b_p,b_q成等比数列  …………………………16分