Question

9．S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，S_n=$\frac{n}{n-1}$S_n-1+n （n≥2，n∈N₊），求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 S_n=$\frac{n}{n-1}$S_n-1+n （n≥2，n∈N₊），变形$\frac{{S}_{n}}{n}-\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出S_n．再利用递推关系即可得出a_n．

解答 解：∵S_n=$\frac{n}{n-1}$S_n-1+n （n≥2，n∈N₊），
∴$\frac{{S}_{n}}{n}-\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$=1，
∴数列$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$是等差数列，首项为1，公差为1．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+（n-1）=n，
解得S_n=n²．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时也成立．
∴a_n=2n-1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．