Question

4．如果x∈（0，π），则y=cosx+2sinx的值域是（　　）

• A． [-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]
• B． （-1，1）
• C． （-1，$\sqrt{5}$]
• D． （-1，2]

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得y=$\sqrt{5}$sin（x+φ），其中tanφ=$\frac{1}{2}$，由x∈（0，π）和反正切函数可得．

解答 解：由三角函数公式化简可得y=cosx+2sinx
=$\sqrt{5}$（$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosx+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinx）
=$\sqrt{5}$sin（x+φ），其中tanφ=$\frac{1}{2}$，
∵x∈（0，π），x+φ∈（arctan$\frac{1}{2}$，π+arctan$\frac{1}{2}$），
∴当x+φ=$\frac{π}{2}$时，y取最大值$\sqrt{5}$，
y＞$\sqrt{5}$sin（π+arctan$\frac{1}{2}$）=-$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=-1，
故选：C

点评 本题考查辅助角公式，涉及反正切函数的应用，属中档题．