Question

13．设关于x的不等式：$\frac{x+1}{k}$≥1+$\frac{2x-4}{{k}^{2}}$的解集为A，且2∈A．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求集合A．

Answer 1

分析 （1）由已知得k（x+1）≥k²+2x-4，由k=2，k＞2，k＜2且k≠0，分类讨论，求出不等式的解集，再由2∈{x|$\frac{x+1}{k}$≥1+$\frac{2x-4}{{k}^{2}}$}，能求出实数k的取值范围．
（2）由k=2，k＞2，k＜2且k≠0，分类讨论，求出不等式的解集，从而得到集合A．

解答 解：（1）∵关于x的不等式：$\frac{x+1}{k}$≥1+$\frac{2x-4}{{k}^{2}}$的解集为A，且2∈A，
∵$\frac{x+1}{k}$≥1+$\frac{2x-4}{{k}^{2}}$，∴k（x+1）≥k²+2x-4，
∴（k-2）x≥k²-k-4，
∴①当k=2时，不等式的解集为R；
②当k＞2时，不等式的解为x≥$\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}$，即解集为：[$\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}$，+∞）；
③当k＜2且k≠0时，不等式的解为x≤$\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}$，即解集为（-∞，$\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}$]
∵2∈A，∴2∈{x|$\frac{x+1}{k}$≥1+$\frac{2x-4}{{k}^{2}}$}，
∴k=2符合，
当k＞2时，$\left\{\begin{array}{l}{k＞2}\\{2≥\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}}\end{array}\right.$，解得2＜k＜3；
当k＜2时，$\left\{\begin{array}{l}{k＜2}\\{2≤\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}}\end{array}\right.$，解得0＜k＜2．
综上，实数k的取值范围是（0，3）．
（2）由（1）得，当k=2时，A=R；
当k＞2时，A=[$\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}$，+∞）；
当k＜2且k≠0时，A=（-∞，$\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}$]．

点评 本题考查含参不等式的解法，考查分类讨论思想、等价转化思想的运用，考查运算能力、论证求解能力的培养，是中档题和易错题．