Question

5．已知函数f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+1}$是定义在区间[-1，1]上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明；
（3）解不等式：f（5x-1）＜f（6x²）

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=0求实数a的值；
（2）利用导数判断、证明函数f（x）在[-1，1]上的单调性；
（3）不等式：f（5x-1）＜f（6x²），化为具体的不等式，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，f（0）=a=0；
（2）f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，∴在区间[-1，1]上，f′（x）=$\frac{{x}^{2}+1-x•2x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$≥0，
∴函数f（x）在[-1，1]上的单调递增；
（3）∵f（5x-1）＜f（6x²），函数f（x）在[-1，1]上的单调递增，
∴-1≤5x-1＜6x²≤1，
∴0≤x＜$\frac{1}{3}$，
∴不等式的解集为{x|0≤x＜$\frac{1}{3}$}．

点评 本题综合考查了函数的奇偶性、单调性及解不等式，充分理解以上有关知识及方法是解决问题的关键．