Question

14．已知单调递增数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=$\frac{1}{2}$（a_n²+n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}-1}，n为奇数}\\{3×{2}^{{a}_{n+1}}+1，n为偶数}\end{array}\right.$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}（{a}_{1}^{2}+1）$，解得a₁；当n≥2时，${S}_{n-1}=\frac{1}{2}（{a}_{n-1}^{2}+n-1）$，利用a_n=S_n-S_n-1，化为（a_n-1+a_n-1）（a_n-1-a_n-1）=0，可得a_n-1+a_n-1=0，或a_n-1-a_n-1=0，由于数列{a_n}是单调递增数列，可得a_n-a_n-1=1．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{n}^{2}+2n}，n为奇数}\\{3×{2}^{n+1}+1，n为偶数}\end{array}\right.$．$\frac{1}{{n}^{2}+2n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，对n分类讨论，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}（{a}_{1}^{2}+1）$，解得a₁=1；
当n≥2时，${S}_{n-1}=\frac{1}{2}（{a}_{n-1}^{2}+n-1）$，∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}（{a}_{n}^{2}-{a}_{n-1}^{2}+1）$，化为（a_n-1+a_n-1）（a_n-1-a_n-1）=0，
∴a_n-1+a_n-1=0，或a_n-1-a_n-1=0，
∵数列{a_n}是单调递增数列，
∴a_n-a_n-1=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{n}^{2}+2n}，n为奇数}\\{3×{2}^{n+1}+1，n为偶数}\end{array}\right.$．
$\frac{1}{{n}^{2}+2n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
当n为偶数时，T_n=（c₁+c₃+…+c_n-1）+（c₂+c₄+…+c_n）
=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）]$+3（2³+2⁵+…+2ⁿ⁺¹）+$\frac{n}{2}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）$+3×$\frac{8（{4}^{\frac{n}{2}}-1）}{4-1}$+$\frac{n}{2}$
=$\frac{n}{2n+2}$+8（2ⁿ-1）+$\frac{n}{2}$．
当n为奇数时，T_n=（c₁+c₃+…+c_n）+（c₂+c₄+…+c_n-1）
=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$+$3×（{2}^{3}+{2}^{5}+…+{2}^{n}）+\frac{n-1}{2}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+2}）$+3×$\frac{8（{4}^{\frac{n-1}{2}}-1）}{4-1}$+$\frac{n-1}{2}$
=$\frac{n}{n+2}$+8（2^n-1-1）+$\frac{n-1}{2}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{n+2}+8（{2}^{n}-1）+\frac{n-1}{2}，n为奇数}\\{\frac{n}{2n+2}+8（{2}^{n}-1）+\frac{n}{2}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了“裂项求和”、等差数列与等比数列的通项公式及其、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．