Question

10．甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定购置某品牌空调各一台．经了解，目前市场上销售此品牌空调有A，B，C三种型号，甲从A，B，C三类型号中挑选，乙从B，C两种型号中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：

	A	B	C
甲	$\frac{1}{5}$	p	q
乙		$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$

若甲、乙都选C型号的概率为$\frac{3}{10}$．
（1）求p，q的值；
（2）某市对购买此品牌空调进行补贴，补贴标准如下表：

型号	A	B	C
补贴金额（百元/台）	3	4	5

记甲、乙两人购空调所获得财政补贴的和为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）仔细阅读表格得出方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{4}q=\frac{3}{10}\\ p+q+\frac{1}{5}=1\end{array}\right.$，求解即可．
（2）确定随机变量X可能取值为7，8，9，10．求解相应的概率，列出分布列，再运用数学期望公式求解即可．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{4}q=\frac{3}{10}\\ p+q+\frac{1}{5}=1\end{array}\right.$所以$p=\frac{2}{5}，q=\frac{2}{5}$．
（2）X可能取值为7，8，9，10．
$P（X=7）=\frac{1}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{20}$，$P（X=8）=\frac{1}{5}×\frac{3}{4}+\frac{2}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$，$P（X=9）=\frac{2}{5}×\frac{1}{4}+\frac{2}{5}×\frac{3}{4}=\frac{2}{5}$；  $P（X=10）=\frac{2}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{10}$．
所以X的分布列为：

X	7	8	9	10
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{10}$

所以$EX=7×\frac{1}{20}+8×\frac{1}{4}+9×\frac{2}{5}+10×\frac{3}{10}=8.95$．

点评 考察了图表格的运用，分析能力，计算化简能力，属于难题，关键是掌握好随机变量的概率的关系，列出方程组．