Question

已知f（x）=e^x-ax（e=2.718…）
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）上有两个零点，求a的取值范围；
（Ⅲ） A（x_l，y_l），B（x₂，y₂）是f（x）的图象上任意两点，且x₁＜x₂，若总存在x_o∈R，使得f′(xo)=

y1-y2

x1-x2

，求证：x_o＞x_l．

Answer 1

分析：（I）由f（x）=e^x-ax，知f′（x）=e^x-a，再由a的符号进行分类讨论，能求出f（x）的单调区间．
（II）由f（x）在区间（0，2）上有两个零点，知a＞0，且

f(0)=1＞0 f(lna)=elna-alna＜0 f(2)=e2-2a＞0

，由此能求出a的取值范围．
（Ⅲ）f′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

等价于ex0=

ex1-ex2

x1-x2

，等式两边同时除以ex1，得

ex0

ex1

=

1-ex2-x1

x1-x2

，设t=x₂-x₁，构造函数g（t）=

1-et

-t

=

et-1

t

．由此能够证明x₀＞x₁．

解答：解：（I）∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，令f′（x）=e^x-a＞0，
①当a≤0时，f′（x）=e^x-a＞0在x∈R上恒成立，
所以f（x）在R上单调递增．
②当a＞0时，∵f′（x）=e^x-a＞0，∴e^x-a＞0，解得x＞lna，
∴f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
（II）∵函数f（x）在区间（0，2）上有两个零点，
∴由（Ⅰ）知a＞0，且

f(0)=1＞0 f(lna)=elna-alna＜0 f(2)=e2-2a＞0

，
解得e＜a＜

e2

2

．
故a的取值范围是（e，

e2

2

）．
（Ⅲ）证明：f′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

?ex0-a=

ex1-ex2-a(x1-x2)

x1-x2

?ex0=

ex1-ex2

x1-x2

，
等式两边同时除以ex1，得

ex0

ex1

=

1-ex2-x1

x1-x2

，
设t=x₂-x₁，则t＞0，
构造函数g（t）=

1-et

-t

=

et-1

t

．
则g′(t)=

et•t-(et-1)

t2

=

et(t-1)+1

t2

＞0在t＞1时恒成立，
所以g（t）在t＞1时恒成立，
所以g（t）＞g（1）=e-1＞1，
所以

ex0

ex1

＞1，故x₀＞x₁．

点评：本题考查函数的增区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明．综合性强，难度大，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高．