Question

已知f（x）=e^x-ax-1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（3）是否存在a，使f（x）在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）求导函数，令导数大于0，解出x，可得函数的单调递增区间；
（2）f（x）在R上单调递增，则f′（x）=e^x-a≥0恒成立，分离参数，即可求得a的取值范围；
（3）由题意知，f（x）在（-∞，0]上单调递减，等价于e^x-a≤0即a≥e^x在（-∞，0]上恒成立．由于y=e^x在（-∞，0]上为增函数，得到函数的最大值是1，则a≥1．同理得到，f（x）在[0，+∞）上单调递增时，a≤1．故满足条件的实数a为1．

解答：解：f′（x）=e^x-a．
（1）若a≤0，f′（x）=e^x-a≥0恒成立，即f（x）在R上递增．
若a＞0，e^x-a≥0，∴e^x≥a，x≥lna．
∴f（x）的递增区间为（lna，+∞）．
（2）∵f（x）在R内单调递增，∴f′（x）≥0在R上恒成立．
∴e^x-a≥0，即a≤e^x在R上恒成立．
∴a≤（e^x）_min，又∵e^x＞0，∴a≤0．
（3）由题意知，若f（x）在（-∞，0]上单调递减，
则e^x-a≤0在（-∞，0]上恒成立．
∴a≥e^x在（-∞，0]上恒成立．
∵y=e^x在（-∞，0]上为增函数．
∴x=0时，y=e^x最大值为1．∴a≥1．
同理可知，e^x-a≥0在[0，+∞）上恒成立．
∴a≤e^x在[0，+∞）上恒成立．
∵y=e^x在[0，+∞）上为增函数．
∴x=0时，y=e^x最小值为1．∴a≤1，
综上可知，当a=1时，满足f（x）在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导是关键．