Question

（2010•广州模拟）若2＜x＜3，P=(

1

2

)x，Q=log₂x，R=

x

，则P，Q，R的大小关系是（　　）

A．Q＜P＜R

B．Q＜R＜P

C．P＜R＜Q

D．P＜Q＜R

Answer 1

分析：利用指数函数与对数函数及幂函数的性质可得到

1

8

＜P＜

1

4

，Q＞1，R＞

2

，再构造函数x=2^2t，通过分析y=2t 和 y=2^t的图象与性质，得到结论．

解答：解：P=(

1

2

)x在x∈（2，3）上单调递减，

1

8

＜P＜

1

4

；
Q=log₂x在x∈（2，3）上单调递增Q＞1；
R=

x

在x∈（2，3）上单调递增，R＞

2

，显然需要比较的是Q，R的大小关系．
令x=2^2t，这是一个单调递增函数，显然在x∈（2，3）上x与t 一一对应，
则1＜Q=log₂x=2t，R=2^t＜

3

，
∴

1

2

＜t＜

1

2

log₂3＜

1

2

•log₂4=1，在坐标系中做出 y=2t 和 y=2^t的图象，两曲线分别相交在 t=1 和 t=2 处，
可见，在 t＜1 范围内 y=2t 小于 y=2^t，
在 1＜t＜2 范围内 y=2t 大于 y=2^t，
在 t＞2 范围内 y=2t 小于 y=2^t，
∵

1

2

＜t＜1，∴2t＜2^t，即 R＞Q；
∴当2＜x＜3时，R＞Q＞P．
故选D．

点评：本题考查对数值大小的比较，难点在于Q，R的大小比较，考查构造函数，通过指数函数与一次函数的图象与性质分析解决问题，考查学生综合分析与解决问题的能力，属于难题．