Question

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是正方体ADD₁A₁和ABCD的中心，G是C₁C的中点，设GF、C₁F与AB所成的角分别为α、β，则α+β等于

π

2

．

Answer 1

分析：本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，求出直线的GF、C₁E与AB的方向向量，利用夹角公式求线线角的余弦值即可．

解答：解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则B（0，2，0），A（2，2，0），G（0，0，1），F（1，1，0），C₁（0，0，2），E（2，1，1），
则

BA

=(2，0，0)，

GF

=（1，1，-1），

C1E

=（2，1，-1），
∴cos(

BA

，

GF

)=

1

3

，cos(

BA

，

C1E

)=

2

3

∴cosα=

1

3

．cosβ=

6

3

，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

6

3

×

6

3

+

3

3

×

3

3

=1，又0＜α+β＜π，
∴α+β=

π

2

．
故答案是

π

2

．

点评：本题考查用空间向量为工具解决空间几何问题，本题的关键是求出异面直线所成的角的余弦值后，利用两角和的正弦求解．