Question

定义在R上周期为2的偶函数f（x），在区间（2013，2014）上单调递增，已知α，β是锐角三角形的两个内角，则f（sinα）、f（cosβ）的大小关系是（　　）

• A、f（sinα）＜f（cosβ）
• B、f（sinα）＞f（cosβ）
• C、f（sinα）=f（cosβ）
• D、以上情况均有可能

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：由条件可得f（x）在（-1，0）上单调递增、在（0，1）上单调递减，由α，β是锐角三角形的两个内角得：

π

2

-β＜α＜

π

2

，由正弦函数的单调性和诱导公式得到sinα＞cosβ，再由f（x）在（0，1）的单调性，即可判断f（sinα）、f（cosβ）的大小关系．

解答： 解：由题意得，函数f（x）是最小正周期为2的函数，
且函数f（x）在区间（2013，2014）上单调递增，
∴函数f（x）在区间（-1，0）上也是单调递增，
∵定义在R上的函数f（x）是偶函数，
∴函数f（x）在区间（0，1）上是单调递减，
∵α，β是锐角三角形的两个内角，
∴α+β＞

π

2

，得

π

2

-β＜α＜

π

2

，
由正弦函数的单调性得sin(

π

2

-β)＜sinα＜sin

π

2

=1，
再由三角函数的诱导公式得sinα＞cosβ，
∵sinα，cosβ∈（0，1），
∴由f（x）在（0，1）上递减得f（sinα）＜f（cosβ），
故选：A．

点评：本题主要考查函数的周期性、单调性及应用，以及三角函数的单调性和诱导公式的运用，灵活运用定义和公式，是解决问题的关键．