Question

10．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于O．连接EO，由三角形中位线定理得PA∥EO，由此能证明PA∥平面EDB．
（2）由PD⊥底面ABCD，得∠PBD为直线PB与平面ABCD所成角，由此能求出直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．

解答 证明：（1）如图，连接AC交BD于O．连接EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点，
在△PAC中，∵E是PC的中点，∴EO是中位线，
∴PA∥EO．
而EO?平面EDB，且PA?平面EDB．
所以PA∥平面EDB．（6分）
解：（2）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，
∴由题意PD⊥底面ABCD，∴∠PBD为直线PB与平面ABCD所成角，（8分）
设PD=DC=1，在Rt△PBD中，BD=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$，
∴sin∠PBD=$\frac{PD}{PB}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．