Question

设f（x）=，对任意实数t，记，
（Ⅰ）求函数y=f（x）-g_t（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：
（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥g_t（x）对任意正实数t成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数x₀，使得g_x（x₀）≥g_t（x₀）对任意正实数t成立．

Answer 1

（Ⅰ）解：，
由，得x=±2，
因为当时，y′＞0；当时，y′＜0；当时，y′＞0，
故所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是（-2，2）。
（Ⅱ）证明：（i）令，
则，
当t＞0时，由h′（x）=0，得，
当时，h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是；
故当x＞0时，对任意正实数t成立；
（ii），
由（i）得，对任意正实数t成立．
即存在正实数，使得对任意正实数t成立．
下面证明的唯一性：
当，t=8时，
，
由（i）得，，
再取，得，
所以，
即时，不满足对任意t＞0都成立，
故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数t成立．