Question

    已知：正三棱柱A₁B₁C₁—ABC中，AA₁=AB=a,D为CC₁的中点，F是A₁B的中点，A₁D与AC的延长线交于点M，

    (Ⅰ)求证：DF∥平面ABC；

    (Ⅱ)求证：AF⊥BD；

    (Ⅲ)求平面A₁BD与平面ABC所成的较小二面角的大小.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：(Ⅰ)证明：取AB中点E，连EF、CE，     ∵F为AB中点，     ∴EF∥AA1∥CC1，且.     ∵D为CC1中点，∴.     又AA1∥CC1,∴EF∥CD且EF=CD，     ∴四边形EFDC为平行四边形，     ∴DF∥CE.     ∵DF面ABC，∴DF∥面ABC.     (Ⅱ)证明：∵A1A=AB，F为A1B中点，     ∴AF⊥A1B.     ∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥CE.     又DF∥CE，∴DF⊥AA1.     ∵A1ACC1，B1BCC1为正方形，D为CC1中点,     ∴A1D=BD，∴DF⊥A1B.     ∴DF⊥面AA1B，∴DF⊥AF.     ∴AF⊥面A1BD，∴AF⊥BD.     (Ⅲ)解：∵CD∥AA1，     ∴，D为A1M中点，     又F为A1B中点，     ∴DF∥BM.由(Ⅱ)知DF⊥面AA1B，     ∴BM⊥面AA1B，∴BM⊥A1B，BM⊥AB.     ∴∠A1BA为平面A1BM与面ABC所成二面角的平面角.     即∠A1BA为平面A1BD与平面ABC所成的二面角的平面角.     ∵A1ABB1为正方形，     ∴∠A1BA=45°即为所求二面角大小.