Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AA₁=AB=2a，D、E分别为CC₁、A₁B的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：AE⊥BD；
（Ⅲ）求三棱锥D-A₁BA的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理及线面平行的判定定理即可得出；
（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（Ⅲ）利用三棱锥的体积计算公式即可得出．

解答：证明：（Ⅰ）如图所示：取AB的中点F，连接EF、CF、ED．
又∵BE=EA₁，∴EF

∥

.

1

2

AA1．
由已知得CD

∥

.

1

2

AA1，∴CD

∥

.

EF．
∴四边形EFCD为平行四边形，
∴ED∥FC．
又∵ED?平面ABC，CF?平面ABC．
∴ED∥平面ABC．
（Ⅱ）由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得A₁A⊥底面ABC，∴A₁A⊥CF．
由F是正△ABC的边AB的中点，∴CF⊥AB．
又A₁A∩AB=A，∴CF⊥侧面ABB₁A₁，
∵ED∥FC，∴DE⊥侧面ABB₁A₁．
∴DE⊥AE．
在等腰△ABA₁中，由AB=AA₁，BE=EA₁．
∴AE⊥A₁B．
又∵A₁B∩DE=E．
∴AE⊥平面A₁BD．
∴AE⊥BD．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：DE⊥侧面ABB₁A₁，且DE=CF=

3

a．
∴V三棱锥D-ABA1=

1

3

×S△ABA1×DE=

1

3

×

1

2

(2a)2×

3

a=

2 3 a3

3

．

点评：熟练掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及三棱锥的体积计算公式是解题的关键．